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第542章 你略懂（第1页）

池远点了点头，没有立即开口，也没有放弃的打算，他是真的在组织语言。

虽然他对数学的学习并没有对物理的那样深入，但数学本就是很多学科的基础。

无可避免地，无论是数学的意识，还是各种理论，都会在其他学科中，不经意间被提及使用。

尤其是物理。

哥德尔不完备定理，池远就是在物理学习过程中接触到的。

准确地来说，是在学习爱因斯坦的相关理论时，书中提到了他的朋友——哥德尔。

一个搞数学和逻辑的孤僻数学家，最好的朋友就是爱因斯坦。

要是仅是这点，池远或许不会对这个人多加了解，但哥德尔的理论吸引了他的注意力——数学工作是靠数学证明来完成的，如果认为它对，必须证明，这是数学家们的共识；另外一个共识便是，每个证明总得有个出发点，不然证明就无法开始。

这些出发点，也就是‘数学公理’。

从学习数学开始，老师们都说，数学公理就是‘不证自明的基本事实’。

作为起点，作为坚实的基础，这样的‘公理’，或者说一系列的数学事实，在哥德尔那个时代，数学家们认为，‘公理集’必然是一致的，即，不会导致矛盾，同时也是完备的，以作为所有数学真理的基础。

但是，25岁的哥德尔证明：任何一个你假定的、能作为数学基础公理集，都不可避免地是不完备的。

简而言之，总有一些关于数的事实不能被这些公理证明。

所以，人力构造的数学系统无法完备。

总是存在一些确定为真的东西，算法上不可穷尽，是人力构造的逻辑系统无法达到。

这些为真的东西就是数学的理念世界，它们有确定的真值，不论人有没有去研究它。

数学不由人心创造。

就像‘1+1=2’不是人创造发明的，仅仅是人类发现了它，并用更方便的符号表达了出来。

有种哲学意味了对不对？但如何证明呢？

池远花了一分钟整理好了思路，精准到了每一个字，才语气平稳地开口道：

“哥德尔不完备定理是哥德尔在1931年证明并发表了，它分两条定理……”

听到‘1931’这个字眼，李莹的眉头忍不住抖了抖——哪有人学数学，还记定理是什么时候提出、发表的？

“第一条定理指出：任何自洽的形式系统，只要蕴含皮亚诺算术公理，就可以在其中构造在体系中不能被证明的真命题，因此通过推理演绎不能得到所有真命题（即体系是不完备的）。”

“第二条定理指出：任何逻辑自洽的形式系统，只要蕴含皮亚诺算术公理，它就不能用于证明其本身的自洽性。”

“要想证明，只要证明初等算数数论Π是不完全的，采用相同的方法就可以证明任何包含Π的形式理论都是不完全的。”

“证明证明Π的不完全性的关键是在于构造出初等算数语言?中的一个含义为真的语句Α……”

“包含初等算数理论的意义是它包含所有正整数（无穷元素）。

而命题和证明都可以被映射到正整数。

另一方面……”

“所构造的语句Α类似于“说谎者悖论”

，即，这句话在说谎，但A是“本语句不可证”

……”

“?不完全，那么包含?的Π不完全，那么包含Π的形式系统不完全。

得证。”

别管这对不对，反正，在当池远说到两个公理的具体内容时，吴平已经开始头皮冒汗、汗流浃背了。

‘皮亚诺公理’他知道，皮亚诺提出的关于自然数的五条公理系统。

但整句话合起来，意思都懂，但怎么理解不明白？

再听证明思路，他已经听不下去了，满脑子都是——